¿Es realmente el 73 el mejor número?

En el décimo capítulo de la cuarta temporada de “The Big Bang Theory” Sheldon Cooper argumenta que el 73 es el mejor número, ya que, y cito textualmente (ver vídeo más abajo):

“El 73 es el vigesimoprimer primo, leído al revés es 37 que es el decimosegundo que al revés es el 21 que es el resultado de multiplicar, agarraros fuerte, 7 por 3” […] “En binario el 73 es un palíndromo 1001001 que al revés es 1001001, exactamente igual…”

 

Aunque sin duda las propiedades expuestas por Sheldon del 73 son impresionantes, a título personal se me ocurren otros muchos números interesantes. Para hacer este juego justo, voy a eliminar números como “pi” o “e” de los cuales se han escrito libros enteros.

Vamos a desglosar lo que dice nuestro amigo Sheldon del 73. En primer lugar dice que el 73 es el vigesimoprimer número primo. ¿Qué es un número primo?

Números primos

Tomemos un número cualquiera, perteneciente a los naturales (los números que usamos para contar 1, 2, 3…) por ejemplo el 18. Ahora pensemos en otras formas de expresar 18, por ejemplo:

18=9\times 2

18=3\times 6

18=1\times 18

18=2\times 3\times 3

A estos números nos referimos como factores o divisores del 18, de este modo decimos que el 2 es un factor del 18. La palabra factor proviene del latín faciō, y significa “hacer”. Los factores del 18, son los números que nos permiten “construir” el 18 (a saber, 1, 2, 3, 6, 9, 18).

Si ahora nos preguntamos cuales son los factores del 11 encontraremos que solo tenemos dos, el 1 (todo número es divisible por 1) y el propio 11 (todo número es divisible por sí mismo). Esto mismo nos ocurre con números como el 2, el 3, el 5, el 7, etcétera. Por tanto un número primo es aquel que solo es divisible por sí mismo y por 1. Los números primos son de gran importancia, ya que como decíamos anteriormente, se utilizan para construir otros números. Todo número natural puede ser expresado de forma única como producto de factores primos. Veamos algunos ejemplos:

12=2\times 2\times 3

15=3\times 5

17=1\times 17

De este modo, la primera interesante propiedad del 73 que enuncia Sheldon es que en el listado ordenado de números primos el 73 ocupa la vigesimoprimera posición y que cuando lo invertimos obtenemos 37, cuya posición es precisamente la decimosegunda. La curiosidad que reside en esto es que tanto 73 como 37 son primos y además la posición que ocupa el 73 (posición 21) es precisamente la inversión de la que ocupa el 37 (posición 12).

A continuación, es inmediato ver que si invertimos 12 obtenemos 21, lo cual es precisamente 7 por 3. Ya de por si esto es suficiente, pero una mente como la de Sheldon no podía detenerse aquí.

Números binarios

A continuación, Sheldon dice que el 73 en binario es un palíndromo. Vayamos por partes. Palíndromo es la palabra utilizada para denominar algo que se lee igual hacia delante que hacia atrás, como puede ser la frase “La ruta natural”. En el caso de los números es más común emplear la palabra capicúa, así un numero capicúa es por ejemplo el 1221.

Por otra parte, Sheldon indica que el 73 es un palíndromo (capicúa) cuando se expresa en binario. Para entender el sistema binario primero pensemos en el sistema de numeración que comúnmente usamos, el sistema decimal. En este sistema, utilizamos los números del 0 al 9, es decir, empleamos diez símbolos, se lo denomina por ello decimal. Cuando contamos desde 0 y llegamos a 9 lo que hacemos es añadir un 1 y un 0 a la derecha (10) y continuar contando.

En binario, utilizamos tan solo dos valores, el cero y el uno. De este modo contaríamos como sigue: 0, 1, 10 (leído “uno cero”),  11 (leído “uno uno”), 100, 101… Transformar un numero decimal a binario es bastante simple, basta con ir dividiendo el numero entre dos y quedarnos el residuo. Veámoslo tomando como ejemplo el número 73.

  • 73 dividido entre 2 da 36 con resto igual a 1. Tomamos ahora el 36.
  • 36 dividido entre 2 da 18 con resto igual a 0. Tomamos ahora el 18.
  • 18 dividido entre 2 da 9 con resto igual a 0. Tomamos ahora el 9.
  • 9 dividido entre 2 da 4 con resto igual a 1. Tomamos ahora el 4.
  • 4 dividido entre 2 da 2 con resto igual a 0. Tomamos ahora el 2.
  • 2 dividido entre 2 da 1 con resto igual a 0. Tomamos ahora el 1.
  • Finalmente 1 dividido entre 2 da 0 con resto igual a 1. Hemos terminado.

Tomando los restos de abajo hacia arriba, esto es, en orden inverso obtenemos nuestro número binario: 1001001, que como era de esperar es un palíndromo. El proceso se detalla en la siguiente imagen:

binario

Compitiendo con Sheldon: Otros números muy interesantes

  • 313. Este número tiene la propiedad de ser capicúa tanto en base 10 como en base 2 (binario) en la cual se escribe como 100111001. Además es el único primo de tres dígitos que cumple esta propiedad. ¡Pero aún hay más! El número 100111001 en base 10 es primo. Otra curiosidad acerca de este número es que es la matrícula del coche del pato Donald (no es broma).
  • Primos de Fermat. Son los números formados por la siguiente expresión:

F_{n}=2^{_2{n}} + 1

Los 5 primeros primos de Fermat son:

F_{0}=2^{_2{0}} + 1 = 3 \:  (primo)

F_{1}=2^{_2{1}} + 1 = 5 \:  (primo)

F_{2}=2^{_2{2}} + 1 = 17 \:  (primo)

F_{3}=2^{_2{3}} + 1 = 257 \:  (primo)

F_{4}=2^{_2{4}} + 1 = 65537 \:  (primo)

F_{5}=2^{_2{5}} + 1 = 4294967297 = 641\times 6700417 \:  (compuesto)

Leonhard Euler fue quien mostró que el quinto “primo” de Fermat no era primo al descomponerlo en 1732.

Algunas propiedades asombrosas de los números de Fermat son:

  • Un número de Fermat es igual al producto de todos los anteriores más 2. Por ejemplo 257 = (17 x 5 x 3) + 2

257=\left ( 17\times 5\times 3 \right ) + 2

  • Todos los números de Fermat son impares.
  • Ningún número de Fermat puede ser la suma de dos números primos.
  • Dos números de Fermat distintos son siempre primos entre sí, no tienen ningún factor común.
  • Existe una relación entre los números de Fermat y los polígonos construibles mediante regla y compás.
  • La representación hexadecimal de los números de Fermat es muy sencilla. Simplemente:
    Se escribe un 1 inicial.
    Se añaden k ceros.
    Se finaliza con un 1.

k = 2^{n-2}-1

Por ejemplo 257 en base 10 es igual a 101 en base hexadecimal. Esto hace que os números de Fermat siempre sean palíndromos (propiedad que gusta a nuestro protagonista) en base hexadecimal.

  • La serie 91. 91 es compuesto ya que 91 = 7 x 13. Sin embargo, si añadimos paulatinamente un 9 a la izquierda y un 0 justo antes del 1 obtenemos la siguiente serie:
    • 9901 (primo).
    • 999001 (compuesto).
    • 99990001 (primo).
    • 9999900001 (compuesto).
    • 999999000001 (primo).
    • 99999990000001 (compuesto).
    • 9999999900000001 (primo).
    • 999999999000000001 (compuesto).

Lamentablemente el siguiente número en la serie 99999999990000000001 ya no cumple la alternancia dado que es compuesto.

  • Repitunos. Son números que solo contienen el dígito 1, como el 11. Como curiosidad, el numero 11111111111111111111111 (23 “unos”) es compuesto.
  • Números Taxicab. Se llama así a estos números debido a una anécdota entre G. H. Hardy y Srinivasa Ramanujan. Cuando este segundo enfermó, las visitas de Hardy al hospital se convirtieron en algo usual. En una de ellas viendo Hardy a su amigo muy decaído y tratando de animarlo dijo: “No me gusta la matricula del taxi en el que he venido, 1729”, a esto Ramanujan contestó: “Pues a mi me parece un número muy interesante puesto que es el más pequeño que puede descomponerse como suma de dos cubos diferentes”. Desde entonces se conoce a estos números como números Taxicab o números Hardy-Ramanujan. Como ya decíamos, estos números tienen la propiedad de ser los más pequeños que pueden expresarse como suma de n (1, 2, 3, …) cubos diferentes. A continuación se presentan los números Taxicab(1), mínimo número que puede ser expresado como suma de un cubo diferente, Taxicab(2), mínimo número que puede ser expresado como suma de dos cubos diferentes y Taxicab(3), mínimo número que puede ser expresado como suma de tres cubos diferentes:

T_{1}=2=1^{3}+1^{3}

T_{2}=1729=1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}

T_{3}=87539319=167^{3}+436^{3}=228^{3}+423^{3}=255^{3}+414^{3}

Aunque estos números puedan parecer un pasatiempo son en realidad muy difíciles de encontrar. Una prueba de ello es que en la actualidad solo se conoce hasta Taxicab(6).

En definitiva, Sheldon tiene su parte de razón en afirmar que el 73 es un número fascinante. Sin embargo, el trono de mejor número, es algo más discutible.

3 comentarios en “¿Es realmente el 73 el mejor número?

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s