Un “ligero” error midiendo la distancia entre la Tierra y el Sol

Aristarco de Samos

Aristarco fue un matemático y astrónomo griego que vivió en el siglo III a. C. Fue un astrónomo muy avanzado a su tiempo, prueba de ello es que fue la primera persona que tuvo el valor de afirmar que la Tierra giraba alrededor del Sol. Por ello, recibió numerosas críticas de sus colegas científicos de la época, ya que por entonces la teoría geocéntrica (el Sol gira alrededor de la Tierra) era la aceptada. Sin embargo su hecho más notorio y por el cual es mayormente conocido es por estimar la distancia entre la Tierra y el Sol. La pregunta es: ¿Cómo lo hizo?

Trigonometría básica

Si, has leído correctamente, lo único que hizo Aristarco fue emplear la trigonometría básica (sí, de esa que se aprende en el instituto). Aristarco se dio cuenta de que cuando la Luna está en el primer cuarto (cuarto creciente) o en el último (cuarto menguante) el ángulo que forma la Luna con el Sol es de 90º.

Creciente y Menguante
Derecha cuarto creciente. Izquierda cuarto menguante

De este modo Aristarco imaginó un triángulo rectángulo, como se muestra en la siguiente imagen:

EsquemaDist

Sabemos que el ángulo que forman el Sol y la Luna es de 90º cuando estamos en cuarto creciente o en cuarto menguante. Además los ángulos de un triángulo han de sumar 180º. Con este segundo dato, el problema al que se enfrentaba Aristarco era determinar el ángulo que forman la Tierra y el Sol, α. Aristarco determinó que este ángulo era de 87º, luego:

90^{\circ}-\alpha =90^{\circ}-87^{\circ}=3^{\circ}

Por la propia definición de seno podemos calcular la distancia Tierra-Sol en función de la distancia Tierra-Luna. El seno se define como el cociente entre el cateto opuesto al ángulo (en este caso la distancia Tierra-Luna) y la hipotenusa (en este caso la distancia Tierra-Sol). Nos queda por tanto:

sen(3^{\circ})=\frac{d_{TL}}{d_{TS}}

Donde dTL y dTS denota distancia Tierra-Luna y distancia Tierra-Sol, respectivamente. Resolviendo la expresión, Aristarco determinó que la distancia entre la Tierra y el Sol era de aproximadamente unas 19 veces la distancia entre la Tierra y la Luna. Parece muy cerca, ¿Estaba en lo cierto?.

Un “ligero” error de 3º

Gracias al spoiler incluido en el título del artículo queda claro que Aristarco se equivocó. En la actualidad es conocido el ángulo que forman Tierra y Sol, y es de 89º 51′. Por lo tanto para determinar la distancia de forma correcta habría que determinar la misma relación para el seno de 9′, o lo que es lo mismo para el seno de 0.15º.

sen(0,15^{\circ})=\frac{d_{TL}}{d_{TS}}

Lo cual determina que la distancia entre la Tierra y el Sol es aproximadamente unas 382 veces la distancia Tierra-Luna. Aunque Aristarco no consiguió estimar correctamente la distancia, hay un par de apuntes muy interesantes sobre esta historia. Por una parte lo ingenioso y sorprendente de emplear un método tan sencillo para calcular algo que suena tan complejo como la distancia entre la Tierra y el Sol. Por otra parte, es increíble como una pequeña desviación, que recordemos, no llega a ser ni de 3º, puede cambiar (e invalidar) por completo todo el cálculo.

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