Arquímedes y la leyenda de la corona de oro

El rey que quería su corona de oro puro

Se dice que Arquímedes descubrió el principio que lleva su nombre debido a un problema que le planteó el rey de Siracusa, Hierón. Hierón encargó la fabricación de una corona de oro a un orfebre, al cual le entregó un lingote de oro para que este pudiera completar su encargo. La corona fabricada por el orfebre pesaba lo mismo que el lingote entregado por el rey. No obstante, este último sospechaba que el orfebre podría haber mezclado el oro con otro metal menos valioso, como plata, y así haber podido sustraer una parte del preciado oro. Ante esta duda el rey decidió llamar a Arquímedes, el cual vivía en Siracusa en ese momento, ya que era el más famoso matemático y sabio de la época.

La clave es la densidad

Antes de continuar, definamos el concepto de densidad. La densidad representa la cantidad de masa en un determinado volumen de una sustancia. Pongamos un ejemplo, si tenemos dos cubos iguales, uno de corcho y el otro de hierro, ambos cubos ocuparan el mismo volumen, no obstante el corcho pesa mucho menos, luego tiene una densidad menor que el hierro. Se puede medir la densidad media de un cuerpo sin más que calcular el cociente entre la masa  y el volumen:

\rho = \frac{m}{V}

Arquímedes sabía que aquí residía la clave del problema, ya que la plata es menos densa que el oro, para obtener el mismo peso en la corona es necesario añadir una mayor cantidad de esta última. Por tanto si el orfebre hubiese aleado el oro con plata, la corona ocuparía un volumen mayor que el lingote de oro inicialmente entregado (el orfebre solo da forma, el volumen de material debería ser el mismo). Ya estaba comprobado que el peso de la corona era el mismo que el del lingote de oro, luego si ambos cuerpos tenían el mismo volumen, tendrían la misma densidad y la corona no habría sido mezclada con ningún otro metal. Si por el contrario no tenían el mismo volumen (ergo tampoco la misma densidad) el orfebre sería condenado por tratar de engañar al rey.

Arquímedes no tenía forma de calcular el volumen de un cuerpo de la complejidad de la corona, ya que el solo conocía la forma de hallar volúmenes de cuerpos sencillos, además no podía fundir la corona para obtener una forma de la cual pudiera calcular el volumen. Aparentemente, no tenía forma de resolver la duda que le planteaba el rey.

Un baño para meditar

La leyenda cuenta que tomando un baño Arquímedes se percató de que el agua subía cuando él se sumergía, de hecho, el volumen de agua que subía debía de ser exactamente igual al volumen sumergido. Había encontrado la solución al problema, lo único que tenía que hacer era llenar dos recipientes y medir el volumen de agua que movía un lingote exactamente igual al entregado y la corona. Se dice que ante este descubrimiento Arquímedes salió desnudo a la calle gritando ¡Eureka!.

Seguro de su descubrimiento, Arquímedes se presento ante el rey y tomó 3 vasijas llenas de agua hasta el tope. Tomó entonces un lingote de oro y uno de plata, ambos del mismo peso que la corona,  y la propia corona. Introdujo primero el lingote de plata, y midió el volumen de agua desalojada (el cual es el volumen del lingote de plata). A continuación hizo lo mismo para el lingote de oro, observando que el volumen de agua desalojada, y por tanto el volumen de oro, era menor. Finalmente introdujo la corona, la cual de haber sido hecha honestamente debía ocupar el mismo volumen que el lingote. Sin embargo no fue esto lo que ocurrió, la corona desalojó un volumen de agua mayor que el lingote de oro del mismo peso, pero menor que el lingote de plata. Por tanto el oro para fabricar la corona había sido mezclado con plata y el orfebre fue condenado.

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