¿Cuál es la probabilidad de ganar los Euromillones?

Una posibilidad entre… muchos millones

Para calcular la probabilidad de que nos toquen los Euromillones primero tenemos que saber cuantas combinaciones posibles existen, puesto que jugamos una (o varias) de esas combinaciones. En este pequeño artículo, vamos a suponer que jugamos un único boleto de Euromillones, es decir, una única combinación.

Las posibles combinaciones de n elementos sin repetición se calculan con lo que en matemáticas se conoce como factorial, que se define formalmente como:

n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot...\cdot3\cdot2\cdot1

En esencia, la formula de arriba nos dice que para calcular el factorial de un número natural n, debemos multiplicar todos los números naturales desde 1 hasta n. Por ejemplo, el factorial de 4 se escribe 4! (leído “cuatro factorial”) y se calcula como 4! = 4·3·2·1 = 24.

Ilustremos la relación entre el factorial y las combinaciones con un ejemplo. Si tenemos 4 tarjetas de colores, digamos una roja, una azul, una verde y una amarilla, existen 24 posibles formas de combinarlas siguiendo un orden específico y sin repetición. Un orden específico sin repetición podría ser: amarillo/verde/rojo/azul; quedando otras 23  posibles combinaciones.

Ahora bien, en los Euromillones tenemos 50 números de los cuales elegimos 5, y 11 estrellas de las cuales elegimos 2. Las probabilidades de obtener un subconjunto determinado de k elementos de un conjunto de n elementos se calcula con lo que se conoce como el coeficiente binomial, que se define según la siguiente fórmula:

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}

Con esta fórmula ya podemos calcular cuantas combinaciones existen a la hora de escoger 5 números de los 50 totales, y 2 estrellas de las 11 totales.

Número de combinaciones de números:

\binom{50}{5} = \frac{50!}{5!\cdot(50-5)!} = \frac{50!}{5!\cdot45!} = 2.118.760

Número de combinaciones de estrellas:

\binom{11}{2} = \frac{11!}{2!\cdot(11-2)!} = \frac{11!}{2!\cdot9!} = 55

Entonces, dado que a cada combinación de números, le corresponde una única combinación de estrellas, tenemos que el número total de combinaciones posibles es el producto de ambos números de combinaciones (números y estrellas). Luego, el número total de combinaciones será:

2.118.760\cdot55 = 116.531.800

Por lo tanto, si nosotros jugamos una única papeleta o boleto, la probabilidad de que nos acabemos llevando los millones es de una entre unos cien millones, concretamente:

P(Ganar Euromillones) = \frac{1}{116.531.800}

“Yo siempre juego el mismo número, ¿tengo más posibilidades de que me toque?”

Supongamos que jugamos durante 100 años la misma combinación, pues “tarde o temprano tiene que salir”. Esta forma de pensar es, en parte (y solo en parte…), acertada y está basada en el concepto frecuentista de la probabilidad.

Pensemos en una moneda, si la moneda está equilibrada, existe la misma probabilidad de que salga cara que cruz. Si hacemos 10 lanzamientos completamente aleatorios, puede que nos salgan 3 (30%) caras y 7 (70%) cruces, lo cual no se parece mucho a nuestra hipótesis inicial, la cual nos dice que deberían de ser 5 caras (50%) y 5 cruces (50%). Si hacemos 100 lanzamientos, es más probable que estemos más cerca de la situación teórica. Y si hacemos 1.000 estaremos aún más cerca (y más con 10.000, y más con 100.000, y así hasta que lleguemos a eso que llamamos infinito).

El concepto frecuentista de la probabilidad se basa en el empirismo, ya que la experiencia nos dice que la frecuencia relativa de un suceso (por ejemplo que salga cara) tiende a estabilizarse cuando la frecuencia total aumenta (número de lanzamientos de moneda que realizamos). Por ello, cuantos más lanzamientos hacemos, más nos vamos acercando a la probabilidad teórica (50/50). En el caso de los Euromillones todas las combinaciones tienen (a priori) la misma probabilidad de ocurrir, por tanto si jugamos infinitas veces, tarde o temprano saldrá nuestro boleto y seremos premiados.

Sin embargo, jugar durante 100 años, no nos da probabilidades extra de ganar nuestro boleto.  ¿Por qué? volvamos a nuestra moneda. Supongamos la siguiente situación, lanzamos la moneda y obtenemos cara, volvemos a lanzar y volvemos a obtener cara, volvemos a lanzar y volvemos a obtener cara, y lanzamos por última, y cuarta vez, y obtenemos de nuevo cara. Ahora te pregunto: ¿A que quieres apostar que saldrá en el quinto lanzamiento, cara o cruz? Si has contestado cruz pensando, “ya toca” tienes razón, pero solo en términos frecuentistas. Existe una error muy común que es el de confundir la probabilidad de obtener 5 caras seguidas, la cual es 1 entre 32:

P(5\:caras\:seguidas) = \left (\frac{1}{2}\right )^{5} = 0,03125

Con la probabilidad de obtener cara en el quinto lanzamiento, que es la misma que la de obtener cara en cualquier lanzamiento (1/2), dado que cada lanzamiento es independiente de lo que haya ocurrido en el lanzamiento anterior (o lanzamientos anteriores).

Un experimento que sí depende de lo ocurrido anteriormente (dependiente) puede ser un saco con 5 bolas negras y 5 bolas blancas. De inicio, al sacar una bola, existe la misma probabilidad (5 entre 10) de que esta sea blanca o negra, pero si continuamos sacando bolas sin reponerlas hasta agotarlas, las probabilidades de obtener una bola u otra dependerán de las extracciones anteriores.

En definitiva, jugar el mismo número durante 100 años no aporta ninguna ventaja adicional.

¡Bola extra!: Un cambio “menor”

En 2011 se decidió cambiar el número de estrellas de 9 a 11 (en ambos casos el jugador selecciona 2). A simple vista este cambio no parece tener grandes implicaciones, pero ya que sabemos calcular las probabilidades, veamos cuantas combinaciones extra incluyó este cambio.

Número de combinaciones de estrellas (Caso: 9/2):

\binom{9}{2} = \frac{9!}{2!\cdot(9-2)!} = \frac{9!}{2!\cdot7!} = 36

Los números son los mismos, 50 a elegir 5. Por lo tanto para calcular las todas las posibles combinaciones con 9 estrellas procedemos del mismo modo que anteriormente multiplicando todas las combinaciones posibles de números por todas las posibles combinaciones de estrellas:

2.118.760\cdot36 = 76.275.360

Pues parece que este cambio introdujo unas “cuantas” combinaciones extra, de hecho unos 40 millones de combinaciones extra (exactamente 40.256.440). Lo sorprendente de este resultado es su que parece ir en contra de la intuición, pues es difícil suponer que la inclusión de dos estrellas en el bombo (y en el boleto) pueda incrementar de manera tan bestial las posibles combinaciones, y en consecuencia reducir considerablemente las probabilidades de acertar.

Un comentario en “¿Cuál es la probabilidad de ganar los Euromillones?

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