La paradoja del cumpleaños

Antes de empezar, quiero que pienses en un número, concretamente en el número mínimo de personas que necesitamos reunir para que dos de ellas coincidan en el día de su cumpleaños con una probabilidad mayor al 50%. ¿Lo tienes?, retén ese número. Arrancamos.

La paradoja del cumpleaños

El número mínimo de personas que tenemos que reunir para garantizar que al menos existe un 50% de que dos de esas personas compartan cumpleaños es de 23. Lo primero es lo primero, esto en el sentido estricto no es una paradoja, es un resultado contraintuitivo (ciertamente 23 no es un resultado intuitivo). Seguramente muchos hayáis pensado en un número mucho mayor. La apuesta predilecta suele ser 183 personas (dividiendo 365 entre 2).

¿Cuál es el porqué de este resultado? De un primer vistazo se entiende que 23 personas (o mejor dicho cumpleaños) es una fracción muy pequeña del total existente, 365 ¿Cómo es posible que la probabilidad sea del 50%? pues debido a que buscamos una repetición entre dos cumpleaños cualesquiera, es decir, se permiten combinaciones. Ya hemos visto lo rápido que es el crecimiento combinatorio en el post sobre las probabilidades de ganar los euromillones. Vamos a verlo de nuevo:

  • Entre dos personas, digamos Cumple1 y Cumple2 solo hay una posibilidad de repetición, que sean iguales, esto es, Cumple1 = Cumple2.
  • Entre tres personas existen tres posibilidades. Cumple1 = Cumple 2, Cumple 1 = Cumple 3 y Cumple 2 = Cumple 3.
  • Con cuatro personas ampliamos a seis posibilidades distintas, ya que, (4·3)/2 = 6.
  • Con cinco personas llegamos a diez posibilidades diferentes, (5·4)/2 = 10.

Procediendo de este mismo modo, con 23 personas tenemos (23·22)/2 = 253 parejas de candidatos que potencialmente pueden cumplir años el mismo día.

Con esta noción vayamos al cálculo puro y duro de las probabilidades. Comencemos calculando las probabilidades de que un número n de personas no cumplan años el mismo día. Asumiremos que hay 365 cumpleaños posibles (el cálculo es ampliable a 366 para considerar años bisiestos).

P = \frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \cdots \cdot \frac{365-n+1}{365}

Dado que la segunda persona no puede cumplir años el mismo día que la primera (364/365), al igual que la tercera no puede cumplir años ni el mismo día que la primera ni que la segunda (363/365) y así sucesivamente.

Ahora la probabilidad de que compartan cumpleaños será la complementaria a esta, es decir, 1 – P:

1-P = 1-\left [ \frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \cdots \cdot \frac{365-n+1}{365}\right ]

Evidentemente la probabilidad será de 1.0 cuando n > 365 (Principio del Palomar).

En base a esta fórmula se puede comprobar que efectivamente para 23 personas la probabilidad es superior al 50%.  P(23) = 0.507, es decir, 50.7%. También puede observarse el rápido crecimiento, para 70 personas la probabilidad es de 0.999.

Existen muchos ejemplos reales de esta paradoja, sobretodo en el fútbol ya que la plantilla típica tiene 23 jugadores. Por ejemplo, en la selección brasileña, Hulk y Pulinho comparten cumpleaños, el 25 de Julio. En la selección francesa, Kanté y Payet también comparten cumpleaños, ¡pero es que además también lo hacen Gignac y Martial!

Toda esta historia cambia cuando se trata de buscar a una persona con la que coincida nuestro cumpleaños. Al no poder formar combinaciones, la probabilidad se ve disminuida drásticamente, La fórmula para calcular dicha probabilidad es:

P = 1-\left ( \frac{364}{365} \right )^{n}

En este caso para llegar al 50% necesitaríamos 253 personas (sin contarnos a nosotros mismos). 253, el mismo número de parejas que obteníamos para 23 personas en el caso anterior.

Sorprendentemente en la selección francesa de fútbol, no hay una si no ¡dos personas que cumplen los años el mismo día que un servidor! (Kanté y Payet). ¿Qué probabilidades había de que esto ocurriese?

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