Maneras complicadas de ganar un millón (II): La conjetura de Poincaré

“Cualquier variedad compacta simplemente conexa de dimensión 3 sin frontera es homeomorfa a la esfera”

Este es el enunciado de la conjetura de Poincaré, el único de los siete Problemas del Milenio que ha sido resuelto. Vamos a adentrarnos en este segundo problema, para ello vamos a “traducir” primeramente su enunciado.

Una variedad no es más que un espacio que localmente se comporta como el espacio euclídeo de orden n, por ejemplo, una superficie del espacio de R³, por ejemplo una esfera, es una 2-variedad (espacio euclídeo de R²). En matemáticas, cuando hablamos de superficies, no se consideran los bordes de las mismas, solo se considera la superficie propiamente dicha. En el caso de la esfera, se considera solo su corteza y no la esfera sólida. Además, en casos como un cilindro, las superficies son infinitas (conceptualmente hablando).

Compacto y simplemente conexo se define en matemáticas como un espacio cerrado y acotado y que no tiene agujeros, es decir, formado por una única pieza e indivisible. Formalmente diriamos que la superficie divide el espacio en dos regiones claramente separadas, una acotada o limitada y otra no acotada.

El concepto de homeomorfismo es más complejo de definir, a grandes rasgos, se dice que dos conjuntos topológicos son homeomorfos si  a partir de uno se puede obtener el otro tan solo deformándolo (sin añadir o extraer “material”, aunque si puede cortarse y pegarse partes). El ejemplo más clásico es el de un donut y una taza (ambos con un único agujero), os dejo una animación muy chula de dicho proceso que tiene la Wikipedia.

 

Sin fronteras hace alusión a los bordes de la superficie, no son validas superficies con bordes puntiagudos (en sierra) o similares, los bordes redondeados de un elipsoide son los permitidos. Con esto ya podemos rehacer el enunciado como sigue:

“Cualquier espacio cerrado, acotado y sin agujeros de dimensión 3 sin fronteras es obtenible a partir de la 3-esfera.”

O en su versión generalizada: “Cualquier espacio cerrado, acotado y sin agujeros de dimensión n sin fronteras es obtenible a partir de la n-esfera”.

Ahora puede apreciarse donde radica una de las mayores dificultades y es que estamos hablando de una esfera de 4 dimensiones, llamada 3-esfera (o de n dimensiones, en el caso general). Es evidente, que nuestra realidad no nos permite percibir estas peculiares esferas de dimensiones superiores a 3.

La conjetura se generalizó para todo n, siendo conocidos en el momento en el que se enuncio (1904) los casos para n=1 y 2. El caso n=2 es quizás el más instructivo para entender el problema. Consideremos una 2-esfera, se puede comprobar que la 2-esfera es simplemente conexa sin más que imaginarnos una curva cualquiera, que pasa por un punto P dado. Supongamos ahora que podemos deformar esa curva tanto como queramos, en el caso de la 2-esfera, no importa que curva consideremos, siempre la podremos deformar (sin cortarla) hasta reducirla al punto P, cosa que no ocurre con ciertas curvas en el caso del toro, como se muestra en la siguientes imágenes:

conexo_esfera

noconexo-toro

 

Como puede observarse, en la esfera, al no tener agujeros siempre es posible “tirar” del lazo y deformarlo hasta reducirlo a un único punto. En el toro, pasa justo lo contrario, al tener un agujero, no podemos reducir cualquier curva a un punto. Esta explicación gráfica puede servirnos para aclarar conceptos como que la esfera y el toro no son homeomorfos, pero si lo son la esfera y un elipsoide. Sin embargo, en la resolución de la conjetura no ayuda mucho, pues como se ha dicho anteriormente hablamos de objetos que no podemos visualizar.

¿Y por qué es importante esta conjetura? El estudio de superficies, es ya por si mismo suficientemente importante en diversas áreas además de las matemáticas, como en física o en ingeniería. Además, entre superficies homeomorfas las llamadas propiedades topológicas se conservan, luego estudiando una esfera, es posible conocer las propiedades de todas las superfices homeomorfas. Llegados a este punto la pregunta que surge es: ¿Cómo podemos clasificar las superficies? Está claro que el número de agujeros de la superficie es una forma muy útil de clasificarlas, pues como hemos visto la esfera y el toro no son homeomorfos precisamente por la presencia de agujeros. La idea de Poincaré de trazar lazos, como hemos visto arriba con la esfera y el toro, busca precisamente detectar la presencia de agujeros y con ello clasificar las superficies. La importancia de esta conjetura radica pues en que nos permite clasificar todas las superfices en cualquier dimensión y conocer sus propiedades.

La solución para los casos n≥4

Tras más de 50 años en los cuales muchos matemáticos se enfrentaron a la conjetura sin obtener ningún resultado remarcable, en 1961, Erik Christopher Zeeman aportó una demostración para el caso de n=5. El mismo año, Stephen Smale probó que la conjetura era cierta para todo n≥7. Una año después John Stallings demostró el caso n=6. En 2 años la conjetura había quedado reducida a a probar los casos n=4 y el originalmente propuesto por Poincaré, n=3.

El caso n=4, fue demostrado por Michael Hartley Freeman, en 1986. Sorprendentemente, el único caso que quedaba por resolver era el enunciado originalmente por Poincaré, que parecía resistirse.

La conjetura de geometrización de Thurston, la solución final por Grigori Perelman y el millón rechazado

En la decada de 1970, el ganador de la medalla Fields William Thurston, estableció una conjetura, llamada la conjetura de geometrización de Thurston, que de ser demostrada, arrastraba consigo la demostración de la conjetura de Poincaré. Thurston encontró 8 estructuras geométricas a partir de las cuales podrían clasificarse las variedades de dimensión 3. En este punto, Richard Hamilton, propuso una estrategia para atacar el problema basada en un descubrimiento realizado por el mismo, el conocido como flujo de Ricci. Y llegó Grigori Perelman.

En el momento de enfrenarse a la conjetura Grigori Perelman ya era un prestigioso matemático reconocido por sus trabajos en geometría diferencial. En noviembre de 2002, Perelman publica en la plataforma ArXiv un trabajo titulado The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. En este trabajo Perelman aborda la conjetura de geometrización de Thurston. En marzo de 2003 Perelman publica una mejora del anterior artículo, corrigiendo algunos errores, titulado Ricci flow with surgery on three-manifolds. La plataforma ArXiv es una web en la cual los autores pueden depositar sus trabajos de manera que puedan ser compartidos y visualizados sin estar sometidos al largo proceso de revisión por pares, sorprendentemente, los envíos de Perelman no contenian errores.

En 2005 los matemáticos chinos Zhu Xiping y Cao Huadidong publicaron un trabajo titulado: A complete proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures – Application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow en el cual los dos autores aseguraban haber demostrado ambas conjeturas. La comunidad matemática concedió la autoría de las demostraciones a Perelman, al estar el trabajo de los asiaticos basado en los artículos enviados por Perelman a ArXiv, otorgándole en el Congreso Internacional de Matemáticas de 2006 la medalla Fields, honor que Perelman rechazó. Asimismo, el instituto Clay, en 2010 y tras haber superado todas las pruebas establecidas otrogó el premio de un millón de dolares a Perelman, premio que Perelman también rechazó, alegando en ambos casos que Hamilton era tan merecedor del premio como él y que no buscaba con su demostración la fama o la fortuna, que simplemente quiere contribuir al desarrollo de las matemáticas, y vaya si lo ha hecho.

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