Los primeros textos matemáticos

El origen de las matemáticas como ciencia comenzó en el siglo VI a. C. con los pitagóricos. De hecho fue en la antigua Grecia donde se acuñó el término matemáticas. No obstante, existen tres documentos que prueban la existencia de un gran conocimiento matemático varios siglos antes, con un carácter más aplicado. Estos tres documentos son la tablilla Plimpton 322 (1.900 a.C.) el papiro de Ahmes (de entre 2.000 a.C. y 1.800 a.C.) y el papiro de Moscú (1.890 a.C.). En estos documentos se muestran los primeros desarrollos matemáticos más allá de la geometría y la aritmética elementales.

Vamos a realizar un viaje 4.000 años hacia atrás en el tiempo a los inicios de las matemáticas.

La tablilla Plimpton 322

De entre las 500.000 tablillas babilonias encontradas, sólo 300 de ellas tienen contenidos matemáticos. La gran mayoría son de un carácter práctico, como el cálculo de áreas o transacciones económicas, sin embargo, hay una tablilla que destaca entre todas, y es la Plimpton 322, denominada así por ser la tablilla número 322 de George Arthur Plimpton, quien en 1936 donó dicha tablilla a la Universidad de Columbia. Esta tablilla muestra 5 columnas y 15 filas repletas de números escritos en el sistema numérico babilonio (base sexagesimal, 60) y en escritura cuneiforme de la época. Lo curioso es que los números representan ternas pitagóricas de enteros (a, b, c) tales que a²+b²=c². Esto pone de manifiesto que los babilonios estaban familiarizados con la geometría elemental y los procedimientos algebraicos.

Que los babilonios pudieran calcular las ternas pitagóricas hace pensar que conocían un algoritmo para generarlas mucho antes de que Euclides lo presentase al mundo en los Elementos. Algunas ternas, como la que aparece en la cuarta fila (12.709, 13.500, 18.541), muestran una capacidad de cálculo sorprendente.

Os dejo las ternas de la tabla pasadas a base decimal. He omitido la primera columna de la tabla, pues aún es fuente de discusión, parece ser el cuadrado de la hipotenusa dividido entre el cuadrado del cateto mayor, es decir la secante al cuadrado (tal y como se señala en este artículo recientemente publicado).

TablaPlimptonDecimal

El papiro de Ahmes y el papiro de Moscú

Los antiguos egipcios utilizaron un formato menos resistente que las tablas de arcilla para registrar la información, el papiro. Es por ello, que los documentos del antiguo Egipto son mucho más escasos. De entre todos ellos destaca el papiro de Ahmes o papiro Rhind, en honor a su descubridor, Alexander Henry Rhind, el cual es una colección completa de 87 problemas de aritmética, geometría y álgebra que ha llegado en un estado de conservación excelente hasta nuestros días. El papiro fue escrito por un escribano alrededor de 1.650 a.C. quien lo copió de la obra original datada de 1.800 a.C. Los 87 problemas se presentan resueltos paso a paso y acompañados en muchos casos de figuras. Todo parece indicar que el papiro era un manual para escribas reales, encargados de ejercer las tareas aritméticas. La frase de apertura del papiro es sin duda ambiciosa:

“Cálculo exacto para entrar en conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios”

De los 87 problemas, veinte son de carácter geométrico, del tipo encontrar el volumen de un granero cilíndrico, calcular el área de un campo o la pendiente del lado de una pirámide. Curiosamente, en todo el papiro no aparece ni una sola mención (ni tan siquiera indirecta) al teorema de Pitágoras. Y digo curiosamente, pues es bien sabido que los egipcios utilizaban una cuerda con 3, 4 y 5 nudos equiespaciados (terna pitagórica, bien llamado triángulo egipcio) para medir la perpendicularidad.

En este papiro pueden encontrarse la aproximación egipcia de pi (256/81 = 3,16049…) o las llamadas fracciones egipcias que es como se denomina a la suma finita de fracciones con numerador 1 y denominadores enteros positivos diferentes entre sí.

Otro de los papiros que destaca es el papiro de Moscú. Este se encuentra en un peor estado de conservación (aunque es más antiguo que el papiro Ahmes) y su formato tampoco es de gran ayuda, pues tiene 5 metros de largo y tan solo 8 centímetros de ancho. En ese espacio, aparecen 25 problemas, aunque lamentablemente no todos pueden interpretarse. Además el escriba, desconocido, fue bastante menos meticuloso que Ahmes.

De este papiro destacan los problemas 10 y 14 donde se calculan el área de una semiesfera y el volumen de un tronco de pirámide de bases cuadradas respectivamente. En el problema 10 encontramos de nuevo la aproximación de pi como 256/81. En el problema 14 se muestra que los egipcios conocían la fórmula exacta para calcular el volumen de una pirámide truncada de base cuadrada. En este problema se explica paso a paso como calcular el volumen para una pirámide con base inferior cuadrada de lado 4, altura 6 y base superior cuadrada de lado 2, obteniéndose un resultado de 56. En efecto:

V = \frac{1}{3}\cdot h\left ( a^{2} +a\cdot b + b^{2}\right ) = \frac{1}{3}\cdot 6\left ( 4^{2} +4\cdot 2 + 2^{2}\right ) = 56

Todo parece indicar que los egipcios utilizaban las matemáticas como forma de administración del estado y para la resolución de problemas cotidianos, mediante reglas que la propia experiencia había demostrado su funcionamiento.

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