Kurt Gödel y la “certeza” de las matemáticas

Las matemáticas, ¿se descubren o se inventan?

Si nos preguntan cuánto son dos más dos, responderemos cuatro, sin pensar, y de manera casi automática, porque es evidente. Es razonable pensar que las matemáticas ya existen, y que los matemáticos solo se dedican a ir “encontrándolas”. Esta idea platónica, nos da a entender que al igual que en el mundo físico vamos descubriendo lugares, las ideas matemáticas, se van descubriendo en la mente. De hecho, Euclides en los Elementos, define un punto como “lo que no tiene ninguna parte”, es decir, un punto ideal, platónico, muy alejado del que podemos dibujar nosotros en un folio.

Sin embargo, a finales del siglo XIX surgió una nueva corriente, en la que los matemáticos se veían como creadores. El matemático alemán Leopold Kronecker dijo: “Dios hizo los números enteros; el resto es obra del hombre”. De esta nueva forma de pensar, surgieron grandes descubrimientos, como por ejemplo las geometrías no euclídeas, que brotaron de poner precisamente en duda el famoso quinto postulado de Euclides, el de las paralelas.

En este contexto nace la teoría de conjuntos tratando de dotar a las matemáticas de unos cimientos lo suficientemente sólidos. Sin embargo Georg Cantor, padre de la teoría de conjunto se topó con una contradicción interna, la denominada paradoja de Russell. Esta paradoja es más fácil de explicar con la paradoja del barbero: “Si en un pueblo el barbero afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos, ¿quién afeita al barbero?”. Si se afeita a sí mismo, está siendo afeitado por el barbero, por lo que no debería afeitarse a sí mismo y tendría que ser afeitado por el barbero… ¡que es el mismo!. Para evitar este problema, nacieron los axiomas de Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel junto con el “axioma de elección”. Aun así la pregunta de si nuevas contradicciones saltarían a posteriori seguía en el aire.

Y llegó Hilbert con sus 23 problemas, y uno de ellos, el segundo, era precisamente demostrar que los axiomas de la artimética son consistentes (es decir, que no incurren en una contradicción).

Kurt Gödel y los teoremas de incompletitud

Kurt Gödel, fue un matemático y filósofo austriaco de un talento extraordinario. Gödel se empeñó en comprender los fundamentos de las matemáticas desde la lógica. Esto lo llevo a presentar en 1931 sus dos teoremas de incompletitud. El primer teorema afirma que no existe teoría matemática formal como para describir el conjunto de los números naturales que sea consistente y completa al mismo tiempo. Es decir, si los axiomas no se contradicen entre sí, existen enunciados que no pueden probarse ni refutarse, luego el sistema no es completo. El segundo teorema es un caso particular del primero, en el que si el sistema de axiomas es consistente, es imposible demostrarlo a través de los propios axiomas. Esto provocó que problemas como la hipótesis del continuo, el postulado de las paralelas o el axioma de elección pasasen a ser problemas indecidibles (imposibles de refutar o probar a través de otros).

Un hombre “complicado”

Además de ser un matemático brillante, Kurt Gödel cuenta con varias anécdotas dignas de mención. Una de ellas se dio cuando decidió nacionalizarse estadounidense, le dijo al juez que presidia el proceso que había encontrado la manera de instaurar una dictadura en los Estados Unidos de América debido a una contradicción lógica que había encontrado en la Declaración de Independencia. Por suerte su amigo Einstein no dejó que se explicará y finalmente la nacionalidad le fue concedida.

Otra anécdota de índole más triste de este matemático gira en torno a su muerte. En sus últimos años perdió la cabeza, y temeroso de que alguien quisiera envenenarlo se negaba a comer a no ser que su mujer, la única persona en la que confiaba ciegamente, probase antes la comida. Cierto día su mujer enfermó y no pudo seguir cuidándolo. Debido a esto Gödel se negó a comer y murió de inanición.

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