Distancias en taxi y sobre el globo terráqueo

De paseo en taxi

Probablemente muchas veces te has encontrado en la situación de que ruta tomar para ir de un punto A a un punto B, y seguramente para tomar tu decisión la distancia entre ambos puntos ha sido una de las variables a considerar, además de tráfico, semáforos, etcétera.

Usualmente, cuando en nuestra mente aparece el concepto de distancia entre dos puntos, solemos pensar en una línea recta, la distancia más pequeña entre ambos. Lamentablemente, la realidad no siempre nos permite hacer trayectos en línea recta, y las calles ni siquiera son paralelas ni perpendiculares. Sin embargo, existen ciertas distribuciones urbanas que son muy interesantes, como L’Eixample de Barcelona o la ciudad de La Plata en Argentina. En ambos casos las calles están configuradas en forma de cuadrícula, como se ve en la siguiente imagen.

LEixample
L’Eixample de Barcelona. Fuente: https://www.flickr.com/photos/ilak/3187655762/ por alhzeia

 

 

Simplifiquemos un poco el mapa, y supongamos que cada manzana tiene una unidad de longitud, y que queremos hacer un recorrido desde el punto A hasta el punto B. La línea azul discontinua representa el recorrido ideal (línea recta). En línea roja y continua se ha representado uno de los posibles caminos a tomar.

ejemplorecorrido1

La distancia en línea recta es fácil de calcular, sin más que aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo dibujado en el que ambos catetos miden 3 unidades tenemos que la hipotenusa, es decir, la distancia en línea recta es:

\sqrt{3^{2}+3^{2}} = 4,24

Pero dado que no podemos tomar ese camino, la distancia que recorreremos será, como mínimo, la suma de los dos catetos, esto es, 3+3=6 unidades. Podemos probar varios recorridos, hacer varios giros, que la distancia mínima permanecerá inalterable. Es más, para calcular las combinaciones posibles podemos emplear  la fórmula de permutaciones con repetición:

PR_{n,m}=\frac{(n+m)!}{n!\cdot m!}=\frac{(3+3)!}{3!\cdot 3!}=20

Es decir, hay 20 itinerarios posibles. Al igual que a la distancia en línea recta se la denomina la distancia euclídea, a esta distancia se la denomina distancia de Minkowski, en honor a su descubridor o taxi-distancia. Así que además del encanto que tienen estas calles y sus vistas aéreas, matemáticamente hablando, están muy bien pensadas, pues cualquiera de los 20 itinerarios que escojamos recorreremos la misma distancia.

Madrid – Los Ángeles

La geometría del globo terráqueo (una esfera más o menos) es muy diferente de la geometría euclídea. La diferencia principal entre ambas radica precisamente en el quinto postulado de los elementos de Euclides, que expresado de manera sencilla dice así: “Por un punto exterior a una recta, pasa una única paralela.” De la reflexión sobre este postulado nacieron nuevas geometrías. Por un lado la geometría hiperbólica donde el postulado equivalente vendría a decir: “Por un punto exterior a una recta, pasan infinitas paralelas”. Y por otro, la que nos ocupa, que es la geometría elíptica, donde se cumple que: “Por un punto exterior a una recta, no pasa ninguna paralela”. Como el tema de las geometrías no euclídeas da para mucho (existen libros completos al respecto y yo me lo guardo para otro post), voy a pasar a enunciar rápidamente algunas de las propiedades que rigen la geometría del globo terráqueo (elíptica):

  • No existen paralelas, los meridianos se cortan en los mismos dos puntos, los polos.
  • Los polos son los puntos A y B diametralmente opuestos.
  • Los meridianos son los círculos máximos que pasan por los puntos A y B (los polos).
  • El camino más corto entre dos puntos en una esfera es el denominado círculo máximo.
  • La única circunferencia máxima perpendicular a los meridianos es el ecuador.
  • Las rectas son de longitud finitas (máxima=2πr). La máxima distancia entre dos puntos es πr.
  • Los ángulos de un triángulo suman más de 180°. Y pueden tener 0, 1, 2 y hasta 3 ángulos rectos.

geomesfera

Si tomas un mapa plano, y miras su escala puedes medir con una simple regla y haciendo la conversión correspondiente la distancia en km. En mi caso quiero calcular la distancia Madrid – Los Ángeles. He medido en un mapamundi con proyección de Robinson y el resultado son 10.133 km aproximadamente (esta medida es manual hay que considerar también ese error).

¿Qué dice la geometría elíptica al respecto? Considerando el teorema del coseno en geometría elíptica:

cos(d)=cos(a)\cdot cos(b)+sen(a)\cdot sen(b)\cdot cos(D)

Las coordenadas de Madrid son 40°N, 3°O y las de Los Ángeles 34°N, 118°O. Los valores a, b se determinan restando a 90° las latitudes. Para D se considera el meridiano de Greenwich como origen, luego se restan los valores de las longitudes. Para nuestro caso tenemos estos valores:

a=90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}

b=90^{\circ}-34^{\circ}=56^{\circ}

D=118^{\circ}-3^{\circ}=115^{\circ}

Sustituyendo en la fórmula anterior y despejando d obtenemos d=84,78°. Como una vuelta completa a la Tierra (360°) tiene 2πr, con r=6371km, 2·π·6371=40.030km. Luego un ángulo de 84,78° serán (por simple regla de tres) 9.426km. Como vemos hay unos 700km de diferencia con el valor obtenido midiendo en el mapamundi.

Pasemos ahora a la prueba de fuego, Google Earth. Introduciendo los valores, la herramienta arroja una distancia entre ambas localizaciones de 9.447 km. Las matemáticas funcionan.

googleearth

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