Simple, pero no fácil. La conjetura de Collatz.

Simple no es necesariamente lo mismo que fácil. Un ejemplo muy claro de esto puede verse en una de las ramas de las matemáticas, la teoría de números. La teoría de números estudia los números y sus propiedades. Lo más fascinante de esta rama de las matemáticas son sin duda sus problemas, entendibles a cualquier persona con una formación básica de matemáticas, pero que esconden dificultades enormes a la hora de elaborar una demostración formal (aunque se suelen hacer enormes comprobaciones computacionales). Hoy quiero hablaros de uno de esos problemas, la conjetura de Collatz.

La conjetura de Collatz

Que recibe su nombre del matemático que la enunció, Lothar Collatz, en 1937. Su enunciado es muy simple:

Para cualquier número entero positivo:

  • Si es par, se divide entre 2.
  • Si es impar, se multiplica por 3 y se suma 1.

Que en términos formales se escribiría tal que así:

f(n)=\left\{\begin{matrix}\frac{n}{2}, &si\: n\: es\: par \\ 3n+1 & si\: n\: es\: impar \end{matrix}\right.

Viendo esto queda claro porque también se la conoce como la conjetura 3n+1. La conjetura dice que si escogemos cualquier número entero positivo, siempre alcanzaremos 1, y por tanto la sucesión 4, 2, 1. Probemos con algunos números:

  • Si empezamos, por ejemplo con 6, tenemos la siguiente sucesión: 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
  • Si empezamos por 15, tenemos una serie un poco más larga: 15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
  • Si empezamos con 24: 24, 12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

Y podríamos seguir así, probando números, aunque si buscáis un contraejemplo, tendréis que hacerlo por encima de 2^{58} que es hasta donde se ha comprobado computacionalmente la veracidad de la conjetura. Pero ojo, esto no es una demostración formal, aunque parece apuntar a que la conjetura es cierta.

Los puntos críticos se alcanzan cuando se encuentra una potencia de 2, pues entonces el problema converge muy rápido a 1. Esto provoca hechos curiosos como por ejemplo que el número 8.192 (2^{13}) llegue a 1 en 13 pasos, mientras que 27 necesita 111 pasos hasta llegar a 1, y sube hasta 9.232 (un valor al que llegan muchos números como 27, 31, 41, 47…).

Si queréis hacer unas pruebas rápidas, os dejo una función en el lenguaje de programación Python (versión 2.7) para probar números:

Collatz

Lo maravilloso de esta conjetura y otras (como la conjetura de Goldbach, a la que dedicaré un post), es que cualquiera puede entenderla pero nadie parece capaz de solucionarla.

 

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