El problema del arroz y el tablero de ajedrez

La leyenda de Sisa

Cuenta la leyenda que en la India existía un hombre tan poderoso y rico que era incapaz de disfrutar de todos los placeres que lo rodeaban. Por ello, ordenó al más inteligente de sus sirvientes que creará un juego capaz de entretenerle. Este sirviente, llamado Sisa, inventó, nada más ni nada menos, que el ajedrez. Este juego para dos jugadores imitaba la guerra y se jugaba (y juega) con 32 piezas, 16 cada contendiente, en un tablero cuadrado de 64 casillas distribuidas en 8 filas y 8 columnas, siendo las casillas alternativamente blancas y negras. El poderoso hombre quedó tan entusiasmado con el juego  que le dijo a su sirviente que escogiera la recompensa que quisiera. El sirviente, que era muy inteligente, le hizo la siguiente petición a su señor: “Señor, soy hombre modesto, y me conformaría con que me paguéis un grano de arroz por el primer cuadrado, dos por el segundo, cuatro en el tercero, ocho en el cuarto, etc.” El hombre poderoso aceptó de inmediato, no obstante al tiempo cayó en la cuenta de que la suma de arroz que debía pagar era astronómica (e imposible de pagar), y sintiéndose engañado por Sisa, mandó matarlo.

La cantidad en cuestión es: 18.446.744.073.709.551.615 granos de arroz (unos 18,4 trillones de granos de arroz), de forma intuitiva, esta cifra parece mucho más grande de lo que cabría esperar ¿por qué?

Series geométricas, crecimiento exponencial

El problema de calcular la cantidad de granos de arroz necesarios para el pago puede resolverse, de manera bastante rudimentaria, mediante una suma teniendo en cuenta que el tablero de ajedrez consta de 64 casillas, que comenzamos con el número 1 y que cada termino es el doble del anterior:

 

Suma que una vez realizada nos proporciona el número que hemos visto anteriormente. Nótese que en la última casilla hay la nada despreciable cantidad de unos 9 trillones de granos de arroz . También puede expresarse de manera exponencial de forma mucho más compacta:

 

Y aún más brevemente utilizando el sumatorio:

Al ser una progresión geométrica, la suma del término n-ésimo (en este caso el 64) puede calcularse como sigue de manera mucho más rápida:

 

Como hemos podido comprobar con las anteriores operaciones matemáticas el crecimiento exponencial es muy rápido. Y aunque esto pueda parecer una mera curiosidad, el crecimiento exponencial es algo que pasa mucho en la naturaleza. Por ejemplo, los microorganismos, crecen exponencialmente, siempre y cuando tengan nutrientes para ello. También la propagación de los virus sigue un patrón exponencial, si no hay ningún tipo de inmunización, que es lo que está ocurriendo actualmente con el COVID-19.

¿Cuánto arroz es?

Para responder a esta pregunta, tenemos que primero hacer algunas consideraciones. Gracias a esta web, podemos calcular que el peso medio de un grano de arroz es de 27,1 miligramos, luego en un kilo de arroz habrá, aproximadamente:

 

Teniendo en cuenta el número de granos calculado al principio, para acometer el pago a Sisa necesitaremos:

 

Que son 499.911,76 millones de toneladas de arroz. Según la web de las Naciones Unidas la producción mundial de arroz en el año 2017 fue de 759,6 millones de toneladas, por lo que necesitaríamos 499911,76/759,6 = 658,1 años para producir esa cantidad de arroz. Ahora queda más claro porque el hombre rico mató a Sisa tras su petición, pues era imposible acometerla.

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