Una demostración simple del teorema de Pitágoras

El más famoso teorema

“En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. Este sencillo teorema, que se suele aprenderse a temprana edad en matemáticas es considerado el teorema más famoso de la historia según un estudio, y es que ¿quién no conoce el teorema de Pitágoras?

Como ya comentamos en el post sobre como concebían los números los pitagóricos, existen pruebas de que tanto en Mesopotamia como en Egipto se conocía de manera práctica el teorema de Pitágoras y se utilizaba en problemas cotidianos como por ejemplo la parcelación de terrenos. Entonces ¿por qué se llama teorema de Pitágoras? Pues porque Pitágoras fue el primero en demostrarlo matemáticamente de manera rigurosa. El éxito radicó en aplicar la lógica, tan empleada en la filosofía en aquella época, a las matemáticas y pasar de lo concreto, en este caso una terna pitagórica, a lo general, haciendo la afirmación válida para cualquier triángulo rectángulo.

Desde entonces, se han elaborado varios centenares demostraciones del teorema. Euclides, Da Vinci e incluso un presidente de los Estados Unidos de América (James Abram Garfield) han contribuido a engrosar la lista de demostraciones. En la Edad Media era común aportar una nueva demostración del Teorema de Pitágoras para optar a la máxima distinción académica, no obstante, hoy en día siguen apareciendo nuevas e ingeniosas demostraciones del afamado teorema. De entre todas ellas, os muestro aquí mi favorita.

Una demostración de entre muchas

Supongamos que tenemos un cuadrado como el que aparece en la figura, de lado a+b:

Si sobre ese cuadrado inscribimos 4 triángulos rectángulos de catetos a y b e hipotenusa c nos queda una figura como la que se muestra a continuación:

Si ahora decidimos calcular el área del cuadrado de lado a+b tenemos dos formas de hacerlo. Por un lado sabemos que su area tiene que ser (a+b)2. Por otro está claro que podemos obtener el área sumando las areas del cuadrado inscrito de lado c y los cuatro triángulos rectángulos de catetos a y b. Calculada de una u otra manera, el resultado debe ser el mismo, por lo que podemos plantear la siguiente igualdad:

Operamos, desarrollando la suma de cuadrados y realizando la multiplicación de 4 por 1/2. Observamos que el termino 2ab se cancela por aparecer a ambos lados de la igualdad, y de este modo llegamos a la famosa expresión del genio de Samos:

Extra: suma de cuadrados

Igualmente puede demostrarse de manera gráfica que (a+b)2 = a2 + b2 + 2ab, basta con construir la siguiente figura:

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